Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh và SAEF = cos2A.SABC. b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với HM tại H cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh PH = QH. c) Chứng minh \(\cot A + \cot B + \cot C \ge \sqrt 3 \).

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh và SAEF = cos2A.SABC.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với HM tại H cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh PH = QH.

c) Chứng minh \(\cot A + \cot B + \cot C \ge \sqrt 3 \).

1 trả lời
Hỏi chi tiết
44
0
0
Bạch Tuyết
11/09 12:16:30

Lời giải

a) Xét ∆BAE và ∆CAF, có:

\(\widehat A\) chung;

\(\widehat {BEA} = \widehat {CFA} = 90^\circ \).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac = \frac\).

Xét ∆AEF và ∆ABC, có:

\(\widehat A\) chung;

\(\frac = \frac\,\,\,\left( {do\,\,\frac = \frac} \right)\).

Do đó (c.g.c).

Ta có \(\frac{{{S_{AEB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AE.BE}}{{\frac{1}{2}AC.BE}} = \frac\).

Tương tự, ta có \(\frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABE}}}} = \frac\).

Suy ra \(\frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABE}}}}.\frac{{{S_{AEB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac.\frac \Leftrightarrow \frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac.\frac = \cos A.\cos A = {\cos ^2}A\).

Vậy SAEF = cos2A.SABC.

b) Gọi I là điểm đối xứng của C qua H. Suy ra HC = HI.

Ta có M là trung điểm BC và H và trung điểm CI.

Suy ra HM là đường trung bình của tam giác BCI.

Do đó HM // BI.

Mà HM ⊥ PH (giả thiết).

Suy ra BI ⊥ PH.

Tam giác BHI có hai đường cao HP, BF cắt nhau tại P.

Suy ra P là trực tâm của tam giác BHI.

Do đó PI ⊥ BH.

Mà BH ⊥ AC (giả thiết).

Vì vậy PI // AC.

Xét ∆HPI và ∆HQC, có:

\(\widehat {PHI} = \widehat {QHC}\) (cặp góc đối đỉnh);

HI = HC (giả thiết);

\(\widehat {HIP} = \widehat {HCQ}\) (do PI // AC, cặp góc so le trong).

Do đó ∆HPI = ∆HQC (g.c.g).

Suy ra HP = HQ.

c) Ta cần chứng minh: cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.

Thật vậy: cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\tan A.\tan B}} + \frac{1}{{\tan B.\tan C}} + \frac{1}{{\tan A.\tan C}} = 1\)

⇔ tanC + tanA + tanB = tanA.tanB.tanC.

Ta có \[\tan \left( {A + B} \right) = \frac{{\tan A + \tan B}}\].

⇒ tanA + tanB = (1 – tanA.tanB).tan(A + B)

⇒ tanA + tanB + tanC = (1 – tanA.tanB).tan(π – C) + tanC

⇒ tanA.tanB.tanC = –tanC.(1 – tanA.tanB) + tanC

⇒ tanA.tanB.tanC = –tanC + tanA.tanB.tanC + tanC

⇒ tanA.tanB.tanC = tanA.tanB.tanC (luôn đúng).

Vì vậy ta có cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.

Ta có (cotA + cotB + cotC)2

= cot2A + cot2B + cot2C + 2cotA.cotB + 2cotB.cotC + 2cotC.cotA

\( = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\cot A - \cot B} \right)}^2} + {{\left( {\cot B - \cot C} \right)}^2} + {{\left( {\cot C - \cot A} \right)}^2}} \right]\)

\( + 3\left( {\cot A.\cot B + \cot B.\cot C + \cot C.\cot A} \right) \ge 3\left( {\cot A.\cot B + \cot B.\cot C + \cot C.\cot A} \right)\)

= 3.1 = 3.

Vậy \(\cot A + \cot B + \cot C \ge \sqrt 3 \).

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Bài tập Toán học Lớp 12 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư