Lời giải

1) Tứ giác AMON có: AM // ON (cùng vuông góc với OB) và AC // OM (cùng vuông góc với OC).

Suy ra tứ giác AMON là hình bình hành   (1)

Xét ∆OBM và ∆OCN, có:

\[\widehat {MBO} = \widehat {NCO} = 90^\circ \];

OB = OC (= R);

\(\widehat {MOB} = \widehat {NOC}\) (cùng phụ với \(\widehat {MON}\)).

Do đó ∆OBM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra OM = ON (cặp cạnh tương ứng)   (2)

Từ (1), (2), suy ra tứ giác AMON là hình thoi.

2) Gọi I là giao điểm của AO và MN.

Suy ra AO ⊥ MN tại I và I là trung điểm AO và MN (do tứ giác AMON là hình thoi).

MN tiếp xúc với (O; R) khi và chỉ khi d(O, MN) = R.

⇔ OI = R.

⇔ OA = 2R (do I là trung điểm AO).

Vậy OA = 2R thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3) Tam giác ABO vuông tại B: \(\sin \widehat {OAB} = \frac = \frac{R} = \frac{1}{2}\).

\( \Rightarrow \widehat {OAB} = 30^\circ \).

Ta có \(\widehat {AON} = \widehat {OAB} = 30^\circ \) (AM // ON và cặp góc này là cặp góc so le trong).

Tam giác OIN vuông tại I: \(\tan \widehat {AON} = \frac\).

Suy ra \(IN = R.\tan 30^\circ = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).

Do đó \(MN = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy diện tích hình thoi AMON là: \({S_{AMON}} = \frac{1}{2}OA.MN = \frac{1}{2}.2R.\frac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2{R^2}\sqrt 3 }}{3}\).