Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho đường tròn (O; R), đường kính MN. Qua M và N vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở A và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với AP và cắt đường thẳng (d’) ở B. a) Chứng minh OA = OP. b) Hạ OH vuông góc với AB. Chứng minh OH = R và AB là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) Chứng minh AM.BN = R2. d) Tìm vị trí của điểm A để diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất.

Cho đường tròn (O; R), đường kính MN. Qua M và N vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở A và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với AP và cắt đường thẳng (d’) ở B.

a) Chứng minh OA = OP.

b) Hạ OH vuông góc với AB. Chứng minh OH = R và AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Chứng minh AM.BN = R2.

d) Tìm vị trí của điểm A để diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất.

1 trả lời
Hỏi chi tiết
7
0
0
Trần Đan Phương
11/09 12:18:16

Lời giải

a) Xét ∆OMA và ∆ONP, có:

\(\widehat {AOM} = \widehat {NOP}\) (đối đỉnh);

OM = ON (= R);

\(\widehat {AMO} = \widehat {ONP} = 90^\circ \).

Do đó ∆OMA = ∆ONP (g.c.g).

Suy ra OA = OP (cặp cạnh tương ứng).

b) ∆ABP có OB ⊥ AP (giả thiết) OA = OP (chứng minh trên).

Suy ra OB vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của ∆ABP.

Do đó ∆ABP cân tại B.

Suy ra OB cũng là đường phân giác của ∆ABP.

Vì vậy OH = ON = R (tính chất điểm nằm trên tia phân giác của một góc).

Ta có AB ⊥ OH tại H.

Mà H thuộc đường tròn (O).

Vậy AB là tiếp tuyến của (O).

c) Ta có HA = MA và HB = NB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Tam giác AOB vuông tại O có OH là đường cao:

HA.HB = OH2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

⇔ AM.BN = R2.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

d) Tứ giác AMNB có \(\widehat {AMN} = \widehat {MNB} = 90^\circ \).

Suy ra AMNB là hình thang vuông.

Khi đó \({S_{AMNB}} = \frac{1}{2}\left( {AM + BN} \right).MN = \frac{1}{2}.\left( {AH + HB} \right).2R = AB.R\).

Ta có R không đổi và AB ≥ MN.

Suy ra SAMNB nhỏ nhất ⇔ AB nhỏ nhất.

Tức là, AB = MN.

Khi đó MN // AB.

Vì vậy AMNB là hình chữ nhật.

Suy ra AM = BN = OH = R.

Vậy điểm A nằm trên đường thẳng song song với MN và cách MN một khoảng bằng R.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư