Cho đường tròn (O; R), đường kính MN. Qua M và N vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở A và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với AP và cắt đường thẳng (d’) ở B.
a) Chứng minh OA = OP.
b) Hạ OH vuông góc với AB. Chứng minh OH = R và AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Chứng minh AM.BN = R2.
d) Tìm vị trí của điểm A để diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Lời giải
a) Xét ∆OMA và ∆ONP, có:
\(\widehat {AOM} = \widehat {NOP}\) (đối đỉnh);
OM = ON (= R);
\(\widehat {AMO} = \widehat {ONP} = 90^\circ \).
Do đó ∆OMA = ∆ONP (g.c.g).
Suy ra OA = OP (cặp cạnh tương ứng).
b) ∆ABP có OB ⊥ AP (giả thiết) OA = OP (chứng minh trên).
Suy ra OB vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của ∆ABP.
Do đó ∆ABP cân tại B.
Suy ra OB cũng là đường phân giác của ∆ABP.
Vì vậy OH = ON = R (tính chất điểm nằm trên tia phân giác của một góc).
Ta có AB ⊥ OH tại H.
Mà H thuộc đường tròn (O).
Vậy AB là tiếp tuyến của (O).
c) Ta có HA = MA và HB = NB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Tam giác AOB vuông tại O có OH là đường cao:
HA.HB = OH2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
⇔ AM.BN = R2.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
d) Tứ giác AMNB có \(\widehat {AMN} = \widehat {MNB} = 90^\circ \).
Suy ra AMNB là hình thang vuông.
Khi đó \({S_{AMNB}} = \frac{1}{2}\left( {AM + BN} \right).MN = \frac{1}{2}.\left( {AH + HB} \right).2R = AB.R\).
Ta có R không đổi và AB ≥ MN.
Suy ra SAMNB nhỏ nhất ⇔ AB nhỏ nhất.
Tức là, AB = MN.
Khi đó MN // AB.
Vì vậy AMNB là hình chữ nhật.
Suy ra AM = BN = OH = R.
Vậy điểm A nằm trên đường thẳng song song với MN và cách MN một khoảng bằng R.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |