Lời giải

a) Vì ∆ABC vuông tại A nên ta có:

BC² = AB² + AC²

Þ BC² = 6² + 8² = 100

Þ BC = 10 cm.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac\)

\[ \Rightarrow AH = \frac{5} = 4,8\;(cm)\].

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AB² = BA.BC

Û 6² = BH.10

\( \Leftrightarrow BH = \frac = 3,6\;(cm)\)

Þ HC = BC − BH = 10 − 3,6 = 6,4 (cm)

Vậy BC = 10 cm, BH = 3,6 cm, HC = 6,4 cm, AH = 4,8 cm.

b) Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac = \frac = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{3} = \frac{4} = \frac = \frac{7} = \frac{7}\)

\( \Rightarrow BD = \frac{7}\,.\,3 = \frac{7}\;(cm)\) và \(CD = \frac{7}\,.\,4 = \frac{7}\;(cm)\).

c) \[HD = BD - BH = \frac{7} - 3,6 = \frac\;\,\,(cm)\].

Diện tích tam giác AHD là:

\[{S_{AHD}} = \frac{1}{2}AH\,.\,HD = \frac{1}{2}\,.\,4,8\,.\,\frac = \frac\;\,\,\left( {c{m^2}} \right)\].