Để giải phương trình \( \frac{5}{x} + 3 = \frac{3}{x} - 1 \), ta bắt đầu bằng cách loại bỏ các mẫu số.

Nhân cả hai bên phương trình với \( x \) (giả sử \( x \neq 0 \)):

\[
5 + 3x = 3 - x
\]

Giải phương trình trên:

1. **Cộng \( x \) vào cả hai bên:**

\[
5 + 3x + x = 3
\]

\[
5 + 4x = 3
\]

2. **Trừ \( 5 \) từ cả hai bên:**

\[
4x = 3 - 5
\]

\[
4x = -2
\]

3. **Chia cả hai bên cho \( 4 \):**

\[
x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = -\frac{1}{2}
\]

Cuối cùng, ta cần kiểm tra lại nghiệm trong phương trình ban đầu để đảm bảo không có giá trị nào làm cho mẫu số bằng 0.

Khi thay \( x = -\frac{1}{2} \) vào các mẫu số:

\(\frac{5}{-\frac{1}{2}} + 3 = -10 + 3 = -7\)

\(\frac{3}{-\frac{1}{2}} - 1 = -6 - 1 = -7\)

Do đó, nghiệm \( x = -\frac{1}{2} \) là nghiệm hợp lệ cho phương trình.

Kết luận: Nghiệm của phương trình là \( x = -\frac{1}{2} \).