Gọi O là trung điểm của AB ⇒ SO ⊥ (ABC)

Ta có: SC ⊥ AH; SC ⊥ AB

Suy ra SC ⊥ (AHB) ⇒ SC ⊥ OH

Trong ∆SOC vuông tại O có:

SH.SC = SO² \( \Rightarrow \frac = \frac{{S{O^2}}}{{S{C^2}}}\)

Ta có: \(\frac{{{V_{S.AHB}}}}{{{V_{S.ACB}}}} = \frac\)

\( \Leftrightarrow \frac = \frac \Leftrightarrow \frac{{S{O^2}}}{{S{C^2}}} = \frac\)

\( \Leftrightarrow \frac{{S{O^2}}}{{S{O^2} + \frac{3}{4}}} = \frac \Rightarrow SO = 2\)

Vậy \[V = \frac{1}{3}\,.\,{S_{ABC}}\,.\,SO = \frac{1}{3}\,.\,2\,.\,\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\].