Gọi M là trung điểm BC.

Khi đó ta có: BC ⊥ AM, BC ⊥ A’M.

Suy rs: ((A’BC), (ABC)) = \(\widehat {A'MA} = 45^\circ \) ⇒ A’A = AM.

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.

Đặt BC = x, x > 0.

Ta có \(AM = A'A = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow A'M = \frac{{x\sqrt 6 }}{2}\).

Nên \({S_{\Delta A'BC}} = \frac{1}{2}.A'M.BC = \frac{{{x^2}\sqrt 6 }}{4} = {a^2}\sqrt 6 \)

⇒ x = 2a.

Khi đó: \(AO = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) và \(A'A = a\sqrt 3 \)

Suy ra diện tích xung quanh khối trụ là:

\({S_{xq}} = 2\pi \,.\,OA\,.\,A'A = 2\pi \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\,.\,a\sqrt 3 = 4\pi {a^2}\).