log(mx) = 2log(x + 1) \[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x > - 1\\mx = {(x + 1)^2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,(1)\]

Ta thấy x = 0 không phải nghiệm của.

Khi đó \[(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\m = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{x} = x + \frac{1}{x} + 2\end{array} \right.\]

Xét hàm số: \[f(x) = x + \frac{1}{x} + 2\], \[x \in ( - 1; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}0\} \] có \[f'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\]

\[f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\,\,\,\,(L)\end{array} \right.\]

Xét bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biên thiên, phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m = 4\end{array} \right.\]

Mà \[m \in \mathbb{Z},\,\,m \in {\rm{[}} - 2017;2017]\] nên \[m \in {\rm{[}} - 2017; - 2016;...; - 1] \cup {\rm{\{ }}4\} \]

Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn.