Xét hai dãy số (a_n) với a_n = 2nπ và (b_n) = \(\frac{\pi }{2} + 2\pi n\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Ta có: lim a_n = lim 2nπ = +∞

lim b_n = \(\lim \left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi n} \right) = \lim n\left( {\frac{\pi } + 2\pi } \right) = + \infty \)

lim sina_n = lim sin2nπ = lim 0 = 0

lim sinb_n = \(\lim \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi n} \right) = \lim 1 = 1\)

Như vậy a_n ⇒ +∞, b_n ⇒ +∞ nhưng lim sina­_n ≠ lim sinb_n

Do đó theo định nghĩa, hàm số y = sin x không có giới hạn khi x ⇒ +∞