Áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào hai cạnh IB và IC ta thấy:

IB² + IC² ³ 2IB.IC

⇔IB.IC≤IB2+IC22

Mà áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác BIC vuông tại I nên

BC² = IB² + IC²

Thay vào (1) ta suy ra được:

SBIC≤12.IB2+IC22=BC24=104=52  (cm2)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi IB = IC.

Suy ra DIBC cân tại I nên tam giác IBC vuông cân tại I

⇔MBC^=45°

Vậy khi điểm M thuộc AC sao cho MBC^=45°  thì diện tích tam giác BIC đạt giá trị lớn nhất.