Tam giác ABC có AB = a; \(AC = a\sqrt 2 ;\;\widehat {BAC} = 45^\circ \) nên theo định lý cosin ta có:

BC² = AB² + AC² − 2AB.AC.cos 45° = a²

Þ BC = a

Suy ra ∆ABC vuông cân tại B

Gọi I là trung điểm AC, ta có IA = IC = IB

Vì AC₁ ^ SC nên IA = IC = IC₁

Vì BC ^ SA, BC ^ AB

Þ BC ^ (SAB) Þ BC ^ AB₁

Mà AB₁ ^ SB Þ AB₁ ^ (SBC)

Þ AB₁ ^ B₁C

Þ IA = IC = IB₁

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp A.BCC₁B₁.

Bán kính của khối cầu đó là: \(R = \frac{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Thể tích khối cầu đó là:

\(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\).