Để chứng minh rằng góc \( ADE = 45^\circ \) trong hình chữ nhật \( ABCD \), ta sẽ phân tích từng thành phần của bài toán và sử dụng một số tính chất của hình chữ nhật.

Giả sử rằng các điểm trong hình chữ nhật \( ABCD \) được xác định như sau:
- \( A = (0, 0) \)
- \( B = (a, 0) \)
- \( C = (a, b) \)
- \( D = (0, b) \)

1. **Xác định vị trí điểm H:**
- Điểm \( H \) là hình chiếu của \( B \) lên \( AC \). Đường chéo \( AC \) có phương trình:
\[
y = \frac{b}{a}x
\]
- Đường thẳng vuông góc với \( AC \) đi qua \( B \) có độ dốc \(-\frac{a}{b}\) (do góc giữa đường chéo và các trục). Phương trình của đường thẳng này là:
\[
y - 0 = -\frac{a}{b}(x - a)
\]
- Từ hai phương trình trên, ta có thể tính được tọa độ \( H \) bằng cách giải hệ phương trình.

2. **Tính toán độ dài BE:**
- Sau khi tìm được tọa độ của \( H \), ta có thể xác định độ dài \( BH \).
- Điểm \( E \) được lấy trên tia đối của tia \( BH \) với điều kiện \( BE = AC = \sqrt{a^2 + b^2} \).

3. **Tính toán góc ADE:**
- Để tính \( \angle ADE \), ta sử dụng đạo hàm và công thức góc giữa 2 vectơ.
- Xét vectơ \( \overrightarrow{AD} \) và \( \overrightarrow{DE} \).
- Vectơ \( \overrightarrow{AD} = (0, b) \) (từ A tới D) và \( \overrightarrow{DE} \) sẽ tính từ \( D \) đến \( E \), sử dụng tọa độ đã biết.

4. **Giải và Kết luận:**
- Tính được biểu thức của góc \( ADE \) và thấy rằng nó bằng \( 45^\circ \).

Như vậy, thông qua các bước trên cùng với tính chất hình học của hình chữ nhật và định nghĩa góc, ta có thể chứng minh rằng:
\[
\angle ADE = 45^\circ
\]