Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \( n \) sao cho biểu thức \( (3n + 6) \) chia hết cho biểu thức \( (n - 1) \).

Bắt đầu với điều kiện chia hết, ta có:

\[
3n + 6 \equiv 0 \mod (n - 1)
\]

Điều này có nghĩa là \( 3n + 6 = k(n - 1) \) với \( k \) là một số nguyên nào đó. Ta sẽ biến đổi điều kiện trên.

1. **Đơn giản hóa biểu thức:**
- Ta có:

\[
3n + 6 = k(n - 1)
\]

- Mở rộng vế phải:

\[
3n + 6 = kn - k
\]

- Chuyển các hạng tử về một vế:

\[
3n - kn + k + 6 = 0
\]

- Sắp xếp lại:

\[
(3 - k)n + (k + 6) = 0
\]

2. **Giải phương trình:**
Ta thấy phương trình trên chỉ có nghiệm khi \( n \) nhận giá trị sao cho điều kiện chia hết được thỏa mãn, điều này sẽ xảy ra nếu \( k + 6 = 0 \) (tức là tồn tại những giá trị \( n \) hợp lý).

Giải phương trình \( k + 6 = 0 \):

\[
k = -6
\]

3. **Thay lại vào phương trình ban đầu:**

Khi \( k = -6 \):

\[
(3 - (-6))n + (0) = 0 \Rightarrow 9n + 0 = 0
\]

Vậy ta cần xét xem \( n - 1 \mid 0 \) thì điều này luôn đúng với bất kỳ giá trị nào của \( n \) nhưng không được làm cho \( n - 1 = 0 \) tức là \( n \neq 1 \).

Ta sẽ thử với một số giá trị nguyên khác nhau cho \( n \):

- Với \( n = 0 \):
\[ 3(0) + 6 = 6 \text{ (chia hết cho } -1 \text{)} \]
- Với \( n = 2 \):
\[ 3(2) + 6 = 12 \text{ (chia hết cho } 1 \text{)} \]
- Với \( n = 3 \):
\[ 3(3) + 6 = 15 \text{ (không chia hết cho } 2 \text{)} \]
- Với \( n = -1 \):
\[ 3(-1) + 6 = 3 \text{ (chia hết cho } -2 \text{)} \]
- Với \( n = -2 \):
\[ 3(-2) + 6 = 0 \text{ (không thu được chia hết)} \]

Kết luận:
- Các giá trị nguyên \( n \) mà chúng ta tìm được để điều kiện chia hết được thỏa mãn đó là \( n = 0 \) và \( n = 2 \).

Do đó, nghiệm duy nhất nằm trong tập hợp \( \{ 0, 2 \} \).