a) Điều kiện xác định của phân thức là 2x³ – 18x ≠ 0. (*)

Rút gọn: \(P = \frac{{2{x^3} + 6{x^2}}}{{2{x^3} - 18x}} = \frac{{2{x^2}\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {{x^2} - 9} \right)}} = \frac{{{x^2}\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {{x^2} - {3^2}} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2}\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{x}.\)

b) Ta thấy x = −3 không thỏa mãn điều kiện xác định (*) nên giá trị của phân thức P tại x = −3 là không xác định.

c) Khi x = 4, điều kiện xác định (*) được thỏa mãn nên giá trị của P tại x = 4 là xác định.

Giá trị đó là \(P = \frac{4} = \frac{4}{1} = 4.\)

d) Ta có thể viết \(P = \frac{x} = \frac = 1 + \frac{3}.\) Điều này cho thấy P nhận giá trị nguyên khi \(\frac{3}\) nhận giá trị nguyên. Muốn vậy, x – 3 phải là ước của 3.

Mà 3 chỉ có 4 ước là {−3; −1; 1; 3}. Do đó chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

• x – 3 = 1, tức là x = 4, khi đó P = 4;

• x – 3 = −1, tức là x = 2, khi đó P = −2;

• x – 3 = −3, tức là x = 0, khi đó P = 0;

• x – 3 = 3, tức là x = 6, khi đó P = 2.

Vậy các giá trị cần tìm của x là x ∈ {0; 2; 4; 6}.