a) Ta có: MF ⊥ CE, AB ⊥ CE, suy ra MN // AB // CD.

Xét tứ giác MDCN ta có: MD // CN (do AD // BC; M ∈ AD, N ∈ BC) và MN // CD (chứng minh trên).

Do đó tứ giác MDCN là hình bình hành.

Mặt khác M là trung điểm của AD nên MD=12AD

Lại có AD = 2AB mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành) nên CD=AB=12AD

Do đó MD = CD.

Suy ra hình bình hành MDCN là hình thoi.

b) Xét tứ giác ADCE ta có AE // CD (theo câu a).

Do đó, tứ giác ADCE là hình thang với hai đáy AE và CD.

Xét hình thang ADCE có:

M là trung điểm AD (giả thiết);

AE // MF // CD (theo câu a).

Theo chứng minh ở Bài 5, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có: F là trung điểm của CE.

Xét ∆EMC có MF là đường trung tuyến ứng với cạnh CE và MF ⊥ CE (giả thiết).

Do đó ∆EMC cân tại M.

c) Tứ giác MDCN là hình thoi nên NMD^=2NMC^ (tính chất đường chéo của hình thoi).

Mà ∆EMC cân tại M nên EMF^=CMF^

Ta có BAD^=NMD^=2NMC^=2EMF^. (1)

Lại có AEM^=EMF^ (hai góc so le trong). (2)

Từ (1) và (2) suy ra BAD^=2AEM^.