Phần thuận: (Hình 1)

Nối OM. Vì M là trung điểm của AB nên OM⊥AB⇒POM^=90°, tức là M luôn nhìn đoạn OP dưới một góc vuông. Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính OP.

Giới hạn: Theo chứng minh trên thì mọi điểm M thuộc quỹ tích đều thuộc đường tròn đường kính OP.

Vị trí M trùng O tương ứng với trường hợp d đi qua O.

Như vậy, quỹ tích là cả đường tròn đường kính OP.

Phần đảo: (Hình 2)

Lấy một điểm M' bất kì thuộc đường tròn đường kính OP (M' khác O). Nối OM'. Qua M' kẻ đường thẳng d' vuông góc với OM' cắt (O) tại A' và B'. Do góc OM'P^=90° nên d' đi qua P.

Vì tam giác OA'B' cân tại O và OM' vuông góc với A'B' nên M' là trung điểm của A'B'.

Vậy M' là một điểm thuộc quỹ tích.

Kết luận: Quỹ tích là đường tròn đường kính OP.

Chú ý: Nếu P là một điểm nằm ngoài đường tròn thì quỹ tích sẽ chỉ là phần đường tròn đường kính OP nằm bên trong (O). Như vậy, phần đảo và phần giới hạn có ý nghĩa nói chung không thể bỏ qua.