Phân tích đề bài

a) Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, thông thường chúng ta chứng minh qua hai tam giác bằng nhau. Khi đó ΔNMP cân vì có OM=OP và ON⊥MP.

b) MN là tiếp xúc với O tại I⇔MN⊥OIOI=R.

c) AM.BN=R2⇔AM.BN=OA⏟ΔBON⏞ΔAOM.OB⏟ΔBON ⇔ΔAMO~ΔBON

d) Nhận thấy ABNM là hình thang vuông, nên

SAMNB=NB+MA.AB2=MI+NI.AB2=MN.AB2.

Do vậy SAMNB nhỏ nhất ⇔MN nhỏ nhất hay ABNM là hình chữ nhật.

Giải chi tiết

a) Xét ΔAOM và ΔBOP có: MAO^=PBO^=90° (tính chất tiếp tuyến);

                                                OA=OB (bán kính đường tròn O);

                                                AOM^=BOP^ (đối đỉnh).

⇒ΔAOM=ΔBOPg.c.g⇒OM=OP (hai cạnh tương ứng).

Xét ΔMNP có OM=OP (theo chứng minh trên) và ON⊥MP. Suy ra ON là đường trung tuyến, đồng thời là đường cao của ΔMNP nên ΔMNP cân tại N.

b) Kẻ OI⊥MN tại I. Vì ΔMNP cân tại N nên OMI^=OPB^ (hai góc ở đáy).

Xét ΔOMI và ΔOPB có: OIM^=OBP^=90°;

                                            OM=OP (chứng minh trên);

                                            OMI^=OPB^ (chứng minh trên).

⇒ΔOMI=ΔOPB (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒OI=OB=R (hai cạnh tương ứng).

Vì OI⊥MN tại I và OI=R nên MN là tiếp tuyến của O;R tại I.

c) Xét ΔAMO và ΔBON có: MAO^=NBO^=90° (tính chất tiếp tuyến);

                                                AMO^=BON^ (cùng phụ với hai góc AOM^,BOP^ bằng nhau).

⇒ΔAMO~ΔBONg.g⇒AMBO=AOBN⇒AM.BN=AO.BO=R2 (vì OA=OB=R).

Vậy AM.BN=R2.

d) Ta có: MA⊥AB và NB⊥AB (tính chất tiếp tuyến). Do đó MA//NB hay AMNB là hình thang vuông ⇒SAMNB=NB+MA.AB2.

Mặt khác: AM=MI và BN=NI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

                  ⇒SAMNB=MI+NI.AB2=MN.AB2.

Mà AB=2R cố định nên SAMNB nhỏ nhất ⇔MN nhỏ nhất ⇔MN//AB hay AMNB là hình chữ nhật ⇔MN=2R. Khi đó SAMNB=2R2.

Vậy để diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất thì MN//AB và AM=R.