Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có các hệ thức sau:

            \[2BD = 2BE = AB + BC - AC;{\rm{ }}2CE = 2CF = BC + AC - AB\]

Ví dụ 3: Cho hình thang \[ABCD\] vuông tại hai đỉnh \[A\] và \[D\], ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\].

Tìm độ dài các cạnh \[AB\] và \[CD\], biết rằng \[OB = 6{\rm{ cm}}\] và \[OC = 8{\rm{ cm}}\].

Giải chi tiết

Do \[ABCD\] ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] nên các cạnh của hình thang \[ABCD\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\].

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra \[BO\] và \[CO\] lần lượt là tia phân giác của góc \[\widehat {ABC},{\rm{ }}\widehat {BCD}\].

Xét \[\Delta BOC\] có: \[\widehat {OBC} + \widehat {OCB} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {BCD}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \].

Suy ra \[\Delta BOC\] vuông \[O\]. Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông này ta có:

            \[B{C^2} = O{B^2} + O{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow BC = 10{\rm{ cm}}\].

Giả sử đường tròn \[\left( O \right)\] tiếp xúc với \[BC\] tại \[K\], suy ra \[OK \bot BC\].

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[OBC\], với \[OK\] là đường cao, ta có:

            \[\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac \Rightarrow OK = \frac{5}{\rm{ cm}}\].

Gọi \[E,F\] lần lượt là tiếp điểm của \[AB\] và \[CD\] với đường tròn \[\left( O \right)\].

Suy ra \[OE = OK = \frac{5}\] (bán kính đường tròn \[\left( O \right)\]).

Kẻ \[BH \bot CD\left( {H \in CD} \right)\]. Ta thấy: \[BH = EF = 2OK = \frac{5}{\rm{ cm}}\].

Tương tự, áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[HBC\] ta được \[HC = \frac{5}{\rm{ cm}}\].

Ta có \[OE \bot AB\] (do \[AB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]). Mặt khác \[AO\] là tia phân giác của góc \[\widehat {DAB}\]

\[ \Rightarrow \widehat {OAE} = 45^\circ \].

Suy ra tam giác \[AOE\] vuông cân \[ \Rightarrow AE = OE = \frac{5}{\rm{ cm}}\].

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[OEB\] ta được \[BE = \frac{5}{\rm{ cm}}\].

Vậy \[AB = AE + EB = \frac{5} + \frac{5} = \frac{5}{\rm{ cm}}\].

        \[CD = DH + HC = AB + HC = \frac{5} + \frac{5} = \frac{5}{\rm{cm}}\].