a) Trong tam giác AHC có: CAH^+ACH^=90°  (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông)

Suy ra CAH^=180°−ACH^=180°−15°=75°.

Mà CAE^  hay chính là CAH^  là góc nội tiếp chắn cung nhỏ CE của đường tròn (O)

Do đó số đo cung nhỏ CE bằng 2CAH^=2⋅75°=150°.

Trong tam giác ABC có:  BAC^+ABC^+ACB^=180°

Suy ra BAC^=180°−ABC^−ACB^=180°−45°−15°=120°.

Mà BAC^  là góc nội tiếp chắn cung lớn BC của đường tròn (O)

Do đó số đo cung lớn BC bằng  2BAC^=2⋅120°=240°.

b) Trong đường tròn (O), AOC^  và ABC^  lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AC nên AOC^=2ABC^=2⋅45°=90°.

Suy ra ∆OAC vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = OA² + OC²

Do đó AC=OA2+OC2=12+12=2  dm.

Kẻ OM vuông góc với BC tại M.

Xét ∆OBM (vuông tại M) và ∆OCM (vuông tại M) có:

OB = OC, cạnh OM chung

Do đó ∆OBM = ∆OCM (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra BM = CM hay M là trung điểm của BC, suy ra BC = 2CM.

Vì ∆OAC vuông tại O có OA = OC nên ∆OAC vuông cân tại O, suy ra OCA^=45°.

Ta có: OCM^=OCA^−ACB^=45°−15°=30°.

Xét ∆OCM vuông tại M có: CM=OC⋅cosOCM^=1⋅cos30°=32  dm.

Vậy BC=2CM=2⋅32=3  dm.