Để chứng minh rằng \( \overline{BN} \) và \( \overline{DM} \) đối nhau trong hình chóp \( S.ABCD \) với \( ABCD \) là hình bình hành, ta có thể sử dụng một số tính chất của hình học không gian và hình bình hành.

### Chứng minh \( \overline{BN} \) và \( \overline{DM} \) đối nhau:

1. **Xác định vị trí của các điểm**:
- Cho hình chóp \( S.ABCD \) với \( ABCD \) là hình bình hành.
- M, N, O lần lượt là trung điểm của các đoạn \( AB, CD \) và \( AC \).

2. **Công thức các đoạn thẳng**:
- Khi \( ABCD \) là hình bình hành, có tính chất rằng các cạnh đối diện thì bằng nhau và các đường chéo cắt nhau tại trung điểm.
- Do đó, \( \overline{AB} = \overline{CD} \) và điểm O là trung điểm của \( \overline{AC} \).

3. **Sử dụng tính đối xứng**:
- Trong hình bình hành, hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) sẽ giao nhau tại điểm trung điểm. Từ đó, các đoạn thẳng nối các điểm giữa (M, N) sẽ tạo thành hai cặp đường đối nhau.

4. **Chứng minh**:
- Vì M là trung điểm của \( \overline{AB} \) và N là trung điểm của \( \overline{CD} \), do đó:
\[
\overline{BM} = \overline{MA} \quad \text{ và } \quad \overline{DN} = \overline{NC}
\]
- Ta có thể chỉ ra rằng:
\[
\overline{BN} \parallel \overline{DM}
\]
- Từ tính chất của các điểm đối xứng trong hình bình hành, ta kết luận rằng \( \overline{BN} \) và \( \overline{DM} \) là hai đoạn thẳng đối nhau.

### Kết luận:
Hình chóp \( S.ABCD \) thỏa mãn điều kiện \( BN \) và \( DM \) là hai đoạn thẳng đối nhau.