Do AM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên AM ⊥ OM tại M.

Xét tam giác OAM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OM² + AM²

Suy ra AM=OA2−OM2  và cosAOM^=OMOA=R2R=12

Do đó AM=2R2−R2=3R2=R3  và AOM^=60°.

Xét ∆OAM (vuông tại M) và ∆OBM (vuông tại M) có:

OA = OB, cạnh OM chung 

Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra AM=BM=AB2  và AOM^=BOM^=AOB^2.

Nên AB=2AM=2R3  và AOB^=2AOM^=2⋅60°=120°.

Do AM, AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OA là tia phân giác của góc MON, suy ra MON^=2AOM^=2⋅60°=120°.

Ta có:

⦁ S₁ = Diện tích hình quạt tròn AOB ‒ Diện tích tam giác OAB

Suy ra S1=π2R2⋅120360−12⋅R⋅2R3=R24π3−3;

⦁ S₂ = 2. Diện tích tam giác OAM ‒ Diện tích hình quạt tròn MON

Suy ra S2=2⋅12⋅R⋅R3−πR⋅120360=R23−π3;

⦁ S₃ = Diện tích hình tròn (O; R) = πR².

Khi đó S1+ S2=R24π3−3+R23−π3

                        =R24π3−3+3−π3=πR2=S3.

Vậy S₁ + S₂ = S₃.