Để giải bài toán này, ta cần phân tích các điều kiện về hai tập hợp \( A \) và \( B \).

### Phân tích tập \( A \)

Tập \( A \) được định nghĩa như sau:

\[
A = \left[ -1 - m; \frac{m + 3}{2} \right]
\]

- **Điều kiện \( A \neq \emptyset \)**: Tập \( A \) không rỗng khi:

\[
-1 - m \leq \frac{m + 3}{2}
\]

Giải bất phương trình này:

\[
-2 - 2m \leq m + 3
\]
\[
-2 - 3 \leq 3m
\]
\[
-5 \leq 3m \Rightarrow m \geq -\frac{5}{3}
\]

### Phân tích tập \( B \)

Tập \( B \) được định nghĩa là:

\[
B = (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)
\]

### Điều kiện \( A \subset B \)

Để \( A \subset B \), cần thỏa mãn rằng \( -1 - m < -3 \) và \( \frac{m + 3}{2} > 3 \).

1. **Giải bất phương trình thứ nhất**:
\[
-1 - m < -3 \Rightarrow m > 2
\]

2. **Giải bất phương trình thứ hai**:
\[
\frac{m + 3}{2} > 3 \Rightarrow m + 3 > 6 \Rightarrow m > 3
\]

**Tóm lại**: Để \( A \subset B \), ta cần \( m > 3 \) và \( m > 2 \) (điều kiện thứ hai đã bao hàm điều kiện thứ nhất).

### Điều kiện cho \( A \cup B = \mathbb{R} \)

Để \( A \cup B = \mathbb{R} \), cần đảm bảo rằng:

- Phần bên trái của \( A \) bắt đầu từ \( -\infty \): điều này đã được thỏa mãn lấy \( m \geq -\frac{5}{3} \).
- Phần bên phải của \( A \) bao trùm mọi giá trị trên \( B \).

Sử dụng điều kiện \( \frac{m + 3}{2} = 3 \):

\[
m + 3 = 6 \Rightarrow m = 3
\]

Nói chung, \( m \) cần thỏa mãn hai điều kiện:

- \( m > 3 \) cho \( A \subset B \)
- \( m \) có 7 giá trị nguyên nhỏ hơn 10 cho \( A \cup B = \mathbb{R} \).

### Kết luận
- Với \( m = 4, 5, 6, 7, 8, 9 \), \( m \) có 6 giá trị cho điều kiện \( A \subset B \).
- Với \( m = 3 \), có 7 giá trị nhỏ hơn 10 cho điều kiện \( A \cup B = \mathbb{R} \).

Do đó, đáp án:
- **c)** 6 giá trị nguyên của tham số \( m \) để \( A \subset B \) là đúng.
- **d)** 7 giá trị nguyên nhỏ hơn 10 của tham số \( m \) để \( A \cup B = \mathbb{R} \) là đúng.