Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Tính độ dài véc tơ u = vecto {AB}  +  vecto {A'D'} + vecto {AA'}

Để tính độ dài véc tơ \( \vec{u} = \vec{AB} + \vec{A'D'} + \vec{AA'} \) trong hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \), trước hết chúng ta cần xác định tọa độ các điểm.

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng \( a \) và tọa độ các đỉnh như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( A'(0, 0, a) \)
- \( B'(a, 0, a) \)
- \( C'(a, a, a) \)
- \( D'(0, a, a) \)

### Bước 1: Tính các véc tơ
1. Tính \( \vec{AB} \):
\[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (a, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a, 0, 0)
\]

2. Tính \( \vec{A'D'} \):
\[
\vec{A'D'} = \vec{D'} - \vec{A'} = (0, a, a) - (0, 0, a) = (0, a, 0)
\]

3. Tính \( \vec{AA'} \):
\[
\vec{AA'} = \vec{A'} - \vec{A} = (0, 0, a) - (0, 0, 0) = (0, 0, a)
\]

### Bước 2: Tính véc tơ \( \vec{u} \)
Bây giờ, chúng ta cộng các véc tơ lại:
\[
\vec{u} = \vec{AB} + \vec{A'D'} + \vec{AA'} = (a, 0, 0) + (0, a, 0) + (0, 0, a) = (a, a, a)
\]

### Bước 3: Tính độ dài của véc tơ \( \vec{u} \)
Độ dài của véc tơ \( \vec{u} \) được tính bằng công thức:
\[
|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}
\]
Trong đó, \( u_x = a, u_y = a, u_z = a \):
\[
|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}
\]

### Kết luận
Vậy độ dài của véc tơ \( \vec{u} \) là:
\[
|\vec{u}| = a\sqrt{3}
\]