a) Theo giả thiết . Khi đó tứ giác BECD   có đỉnh E và D cùng nhìn cạnh  dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác BECD  nội tiếp.

b) Tứ giác BECD  nội tiếp nên BED^   (cùng bù với ).

Xét ΔADE   và  ΔABC có AED^=ACB^   và A^  chung nên  ΔADE∽ΔABC.

Do đó ADDE=ABBC⇔DE⋅AB=BC⋅AD .

Từ ADDE=ABBC⇒DEBC=ADAB .

Vì  ΔABD vuông tại D nên ta có

DEBC=ADAB=cosBAD^=cos45°=22.

c) ΔABD  vuông tại D   và BAD^=45°  nên ABD^=45°⇒EBH^=45°

⇒ΔEBH vuông cân tại  E ⇒HE=BE .     (1)

Chứng minh tương tự ΔCDH   vuông cân tại  D ⇒HD=CD .        (2)

Từ  (1) và (2)  suy ra HE+HD=BE+CD .

d) Vì I   là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên I là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC  .

Ta có  thuộc trung trực của ; E thuộc trung trực của AC   (vì tam giác AEC vuông cân tại E) suy ra  EI⊥AC⇒EI⊥AD.           (3)

Chứng minh tương tự DI⊥AB⇒DI⊥AE  .           (4)

Từ (3) và (4) suy ra  là trực tâm của ΔAED⇒AI⊥DE  .