Để chứng minh EF // MN // BC trong tam giác ABC với đường thẳng d song song với BC, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và hình học phẳng.

1. **Xác định các tỉ lệ**:
Từ giả thiết, chúng ta có:
- Đường thẳng d song song với BC cắt AB tại M và AC tại N.
- Suy ra: \( \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \).

2. **Điểm trung bình**:
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của MB và NC. Theo định nghĩa về điểm trung bình, ta có:
- \( AE = \frac{1}{2} MB \)
- \( AF = \frac{1}{2} NC \)

3. **Sử dụng Tỷ lệ tương ứng**:
Do d song song với BC nên từ tỉ lệ đã có ở trên, ta có:
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}
\]
từ đó suy ra:
\[
\frac{MB}{AB} = \frac{NC}{AC} = k \quad \text{(với k là một hằng số)}
\]

4. **Nối EF và MN**:
Ta sẽ chứng minh rằng độ dài EF và MN tương ứng với nhau.

- Gọi G là giao điểm của EF và MN. Vì E,F là trung điểm nên ta có:
\[
\frac{GE}{EF} = \frac{AG}{MN}
\]
Điều này cho thấy rằng EF và MN chia trong cùng một tỉ lệ.

5. **Kết luận**:
Như vậy, vì EF và MN đều song song với BC và cùng chia hai đoạn AM và AN theo tỉ lệ bằng nhau, ta có:
\[
EF // MN // BC
\]
Kết thúc chứng minh.