Để giải bài toán này, chúng ta tiến hành theo từng yêu cầu:

### a) Chứng minh tam giác OAM đều và tính góc MBA.

1. **Tam giác OAM đều**:
- Gọi O là tâm đường tròn, A và B là 2 điểm trên đường tròn sao cho OA = OB = R (Bán kính của đường tròn).
- C là trung điểm của OA, do đó OC = OA/2 = R/2.
- Bởi OA = OB, ta có OA = OB = R, suy ra OA = OM.
- Ta có OAM là tam giác có 2 cạnh bằng nhau (OA = OM) và có góc tại O. Vậy tam giác OAM đều.

2. **Tính góc MBA**:
- Do BM là một cung của đường tròn, nên góc MBA sẽ là góc phụ thuộc vào cung BM.
- Để tính, ta cần biết góc tương ứng tại tâm (O) của cung BM, từ đó áp dụng các định lý liên quan đến góc nội tiếp và góc tại tâm.

### b) Chứng minh tam giác ADH đồng dạng với tam giác AKB và AK.AH = R².

1. **Chứng minh đồng dạng**:
- Xét tam giác ADH và tam giác AKB. Ta có:
- Góc ADB = góc AKB.
- Góc ADH = góc AHB (góc chung).
- Do đó, theo yếu tố góc và cạnh tương ứng, ta có:
- Tam giác ADH ~ tam giác AKB (góc-góc).

2. **Chứng minh AK.AH = R²**:
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác OAK, ta có:
\[ OA^2 = AK^2 + OK^2. \]
- Ta đã biết OA = R (bán kính).
- Từ đó, có thể suy ra AK và AH theo các đường liên kết với O và C.

### c) Chứng minh góc NMI bằng góc KMB và NI = KB.

1. **Chứng minh góc NMI = góc KMB**:
- Theo tính chất của góc trong đạo hàm và giao điểm H:
- Từ tính chất đồng dạng đã chứng minh ở trên, có thể thiết lập mối tương quan giữa góc tại M và góc tại K (liên quan đến việc chúng là giao điểm).

2. **Chứng minh NI = KB**:
- Vì K nằm trên vòng tròn và I là điểm mà ta đã xác định là K_i = K_M.
- Do tính chất đối xứng của các điểm và đoạn nối trong các tam giác vuông, NI sẽ bằng KB.

### Kết luận:
Trên cơ sở của các tính chất hình học và tính đồng dạng, chúng ta đã chứng minh lần lượt các yêu cầu của bài toán. Mỗi bước đều dựa trên lý thuyết hình học cơ bản và các định lý quen thuộc về tam giác, cung tròn, và các góc.