Tìm x>=3y>0

Để tìm giá trị cực tiểu của hàm \( f(x, y) = \frac{4x^2 + 9y^2}{xy} \) với điều kiện \( x \geq 3y > 0 \), chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách biểu diễn hàm này.

1. **Thay thế và đơn giản hóa:**
Áp dụng điều kiện \( x = 3y + k \) với \( k \geq 0 \), ta có:
\[
f(x, y) = \frac{4(3y + k)^2 + 9y^2}{(3y + k)y}
\]
Tính \( 4(3y + k)^2 \):
\[
= 4(9y^2 + 6ky + k^2) = 36y^2 + 24ky + 4k^2
\]
Vậy:
\[
f(x, y) = \frac{36y^2 + 24ky + 4k^2 + 9y^2}{(3y + k)y} = \frac{45y^2 + 24ky + 4k^2}{3y^2 + ky}
\]

2. **Tối ưu hóa biến:**
Để tối giản phép tính, ta sẽ thay \( y \) bằng biến mới \( t = \frac{y}{x} \). Điều kiện \( x \geq 3y \) trở thành \( t \leq \frac{1}{3} \), và \( y = tx \).
Giờ ta có:
\[
f(x, t) = \frac{4x^2 + 9(tx)^2}{x(tx)} = \frac{4x^2 + 9t^2x^2}{tx^2} = \frac{4 + 9t^2}{t}
\]

3. **Tìm cực tiểu:**
Xét hàm \( g(t) = \frac{4 + 9t^2}{t} \):
\[
g(t) = \frac{4}{t} + 9t
\]
Tính đạo hàm:
\[
g'(t) = -\frac{4}{t^2} + 9
\]
Đặt \( g'(t) = 0 \):
\[
-\frac{4}{t^2} + 9 = 0 \Rightarrow 9 = \frac{4}{t^2} \Rightarrow t^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow t = \frac{2}{3}
\]
Bây giờ kiểm tra điều kiện \( t \leq \frac{1}{3} \). Tại \( t = \frac{2}{3} \) không thỏa mãn, vì vậy ta kiểm tra trên biên \( t = \frac{1}{3} \):
\[
g\left( \frac{1}{3} \right) = \frac{4 + 9 \left( \frac{1}{3} \right)^2}{\frac{1}{3}} = \frac{4 + 1}{\frac{1}{3}} = 5 \cdot 3 = 15
\]

4. **Kết luận:**
Giá trị cực tiểu của hàm \( f(x,y) \) với điều kiện \( x \geq 3y > 0 \) là \( m_{min} = 15 \).