Để tìm giá trị của \( a \) để biểu thức

\[
\frac{5a - 17}{4a - 23}
\]

có giá trị lớn nhất, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Tìm điều kiện xác định**: Biểu thức này không xác định khi mẫu số bằng 0, tức là \( 4a - 23 = 0 \Rightarrow a = \frac{23}{4} \). Do \( a \) là số tự nhiên, nên điều này không ảnh hưởng đến các giá trị tự nhiên của \( a \).

2. **Tính giá trị của biểu thức cho các giá trị tự nhiên của \( a \)**:
- Với \( a = 1 \):
\[
\frac{5(1) - 17}{4(1) - 23} = \frac{5 - 17}{4 - 23} = \frac{-12}{-19} = \frac{12}{19}
\]
- Với \( a = 2 \):
\[
\frac{5(2) - 17}{4(2) - 23} = \frac{10 - 17}{8 - 23} = \frac{-7}{-15} = \frac{7}{15}
\]
- Với \( a = 3 \):
\[
\frac{5(3) - 17}{4(3) - 23} = \frac{15 - 17}{12 - 23} = \frac{-2}{-11} = \frac{2}{11}
\]
- Với \( a = 4 \):
\[
\frac{5(4) - 17}{4(4) - 23} = \frac{20 - 17}{16 - 23} = \frac{3}{-7} = -\frac{3}{7}
\]
- Với \( a = 5 \):
\[
\frac{5(5) - 17}{4(5) - 23} = \frac{25 - 17}{20 - 23} = \frac{8}{-3} = -\frac{8}{3}
\]

3. **So sánh các giá trị**:
- Giá trị lớn nhất trong các giá trị xét trên là \( \frac{12}{19} \) khi \( a = 1 \).

Như vậy, giá trị của \( a \) mà biểu thức có giá trị lớn nhất là \( a = 1 \).