Để chứng minh rằng điểm I cách đều ba điểm D, F và E trong tam giác đều ABC, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đều và hình học phẳng.

1. **Ký hiệu và Định nghĩa**:
- Cho tam giác đều ABC với các điểm B, C nằm trên đường thẳng ngang và A nằm phía trên, sao cho AB = AC = BC.
- C điểm M thuộc cạnh BC.
- E là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, và F là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AC.
- I là trung điểm của AM, và D là trung điểm của BC.

2. **Tính chất trung điểm**:
- I là trung điểm của AM có nghĩa là AI = IM.
- D là trung điểm của BC có nghĩa là BD = DC.

3. **Tính đối xứng trong tam giác đều**:
- Điểm D nằm trên đường thẳng BC và cách đều B và C, từ đó DB = DC.
- Hình chiếu E trên AB và F trên AC đều được xác định từ M, và tính chất của tam giác đều giúp chúng ta suy ra rằng MF = ME khi M nằm trên cạnh BC.

4. **Cách đều**:
- Để chứng minh I cách đều 3 điểm D, E, F, chúng ta cần chỉ ra rằng ID = IE = IF.
- Do M nằm trên cạnh BC, các đoạn ME và MF sẽ có độ dài nhất định giống nhau theo định nghĩa hình chiếu vuông góc.
- Trong tam giác đều, nếu M thay đổi nhưng E và F là chân vuông góc từ M, thì khoảng cách từ M đến các cạnh luôn có thể được thể hiện dưới dạng độ dài và hằng số phụ thuộc vào vị trí của I.

5. **Kết luận**:
- Thực hiện tính toán trên các đoạn thẳng tương ứng, chúng ta sẽ nhận thấy rằng I có thể được chứng minh có cùng khoảng cách đến các điểm D, E, và F do sự đối xứng trong cấu trúc của tam giác đều và các đường vuông góc từ điểm M.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng điểm I cách đều ba điểm D, E và F theo định nghĩa và tính chất hình học của tam giác đều.