Để chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa về trung điểm và một số đặc điểm của hình thoi.

1. **Xác định tọa độ các điểm**: Giả sử các điểm A, B, C, D là tọa độ của các đỉnh của hình chữ nhật ABCD như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)

2. **Tìm tọa độ các trung điểm**:
- Trung điểm E của AB:
\[
E\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) \Rightarrow E\left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]
- Trung điểm F của BC:
\[
F\left(\frac{a + a}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) \Rightarrow F\left(a, \frac{b}{2}\right)
\]
- Trung điểm G của CD:
\[
G\left(\frac{a + 0}{2}, \frac{b + b}{2}\right) \Rightarrow G\left(\frac{a}{2}, b\right)
\]
- Trung điểm H của AD:
\[
H\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) \Rightarrow H\left(0, \frac{b}{2}\right)
\]

3. **Xác định các cạnh của tứ giác EFGH**:
- **EF**:
\[
EF = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}
\]
- **FG**:
\[
FG = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + \left(b - \frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}
\]
- **GH**:
\[
GH = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - b\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}
\]
- **HE**:
\[
HE = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(0 - \frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}
\]

4. **Kết luận**: Từ các tính toán trên, ta thấy rằng:
\[
EF = FG = GH = HE = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}
\]
Như vậy, EFGH có 4 cạnh bằng nhau, đủ để kết luận rằng EFGH là hình thoi.

Ngoài ra, để kiểm tra thêm, ta có thể tính độ dài các đường chéo EH và FG trong tứ giác EFGH. Nếu chúng vuông góc với nhau thì ta sẽ có một hình thoi. Tuy nhiên, do các cạnh đã bằng nhau, nên tứ giác EFGH là hình thoi.

Do đó, ta chứng minh được rằng EFGH là hình thoi.