Để chứng minh biểu thức \( y^2 - 5y + 8 \) luôn dương, ta có thể sử dụng định lý về định thức của một hàm bậc hai.

Biểu thức có dạng \( ay^2 + by + c \) với \( a = 1 \), \( b = -5 \), và \( c = 8 \).

1. **Tính định thức**:
Định thức (hay còn gọi là delta) của hàm bậc hai được tính bằng công thức:
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
Thay các giá trị vào:
\[
\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 8 = 25 - 32 = -7
\]

2. **Phân tích kết quả**:
- Vì \( \Delta < 0 \), nên hàm bậc hai này không có nghiệm thực.
- Điều này có nghĩa là biểu thức này không cắt trục hoành và luôn nằm trên trục tung.

3. **Tính giá trị cực tiểu**:
- Giá trị cực tiểu của hàm bậc hai \( y^2 - 5y + 8 \) có thể được tính tại cực trị:
\[
y_{min} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \times 1} = \frac{5}{2}
\]
- Tính giá trị tại \( y = \frac{5}{2} \):
\[
f\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5 \times \frac{5}{2} + 8 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 8 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{32}{4} = \frac{7}{4}
\]
- Giá trị \( \frac{7}{4} > 0 \).

=> Kết luận: Biểu thức \( y^2 - 5y + 8 \) luôn dương với mọi giá trị của \( y \).