a) Do đồ thị hàm số đi qua A(3; 3) nên 3 = k.3², suy ra \(k = \frac{1}{3}.\)

Vậy hàm số có dạng \[y = \frac{1}{3}{x^2}.\]

b) Do tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ bằng 2 nên x = 2.

Thay x = 2 vào hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^2}\] ta được: \(\frac{1}{3} \cdot {2^2} = \frac{4}{3}.\)

Vậy tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ bằng 2 là y = 2.

c) Do điểm có tung độ bằng 2 nên y = 2.

Thay y = 2 vào hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^2}\] ta được:

\(\frac{1}{3} \cdot {x^2} = 2,\) suy ra x² = 6, nên \(x = \sqrt 6 \) hoặc \(x = - \sqrt 6 .\)

Vậy các điểm thuộc parabol có tung độ bằng 2 là \(\left( {\sqrt 6 ;2} \right)\) và \(\left( { - \sqrt 6 ;2} \right).\)

d*) Gọi M(a; b) là điểm thuộc parabol thỏa mãn khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành gấp ba lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.

Từ đó, ta có: \(\frac{1}{3}{a^2} = b\,\,\left( * \right)\) và |b|=3.|a|.

Do |b| = 3.|a| nên b = 3a hoặc b = –3a.

– Nếu b = 3a, kết hợp với (*) ta có: \(\frac{1}{3} \cdot {a^2} = 3a\) hay a² = 9a.

Suy ra a(a – 9) = 0. Tức là a = 0 hoặc a = 9.

⦁ Với a = 0 thì b = 0, khi đó M(0; 0) (loại vì đây là điểm O).

⦁ Với a = 9 thì b = 27, khi đó M(9; 27).

– Nếu b = –3a, kết hợp với (*) ta có: \(\frac{1}{3} \cdot {a^2} = - 3a\) hay a² = –9a.

Suy ra a(a + 9) = 0. Tức là a = 0 hoặc a = –9.

⦁ Với a = 0 thì b = 0, khi đó M(0; 0) (loại vì đây là điểm O).

⦁ Với a = –9 thì b = 27, khi đó M(–9; 27).

Vậy các điểm phải tìm là M(9; 27) và M’(–9; 27).