Gọi H là hình chiếu của A trên Oy.

Ta có A(1; 1) nên suy ra AH = OH = 1.

Do đó ∆OAH vuông cân tại H nên \(\widehat {AOH} = 45^\circ .\)

Xét ∆OAH vuông tại H, ta có: OA² = OH² + AH² (định lí Pythagore)

Suy ra \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 .\)

Tương tự, ta sẽ có \(OA = OB = OC = OD = \sqrt 2 .\)

Mặt khác, do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó O là tâm của hình vuông.

Do đó, phép quay ngược chiều 45° tâm O biến điểm A thành các điểm A’ nằm trên tia Oy sao cho \(OA' = OA = \sqrt 2 ,\) tức là \[A'\left( {0;\sqrt 2 } \right).\]

Tương tự, ta chứng minh được, phép quay ngược chiều 45° tâm O biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm \[A'\left( {0;\sqrt 2 } \right),\,\,B'\left( { - \sqrt 2 ;0} \right),\] \(C'\left( {0; - \sqrt 2 } \right),\,\,D'\left( {\sqrt 2 ;0} \right).\)

Suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình vuông với hai đường chéo là A’C’ và B’D’, nên diện tích tứ giác A’B’C’D’ là:

\(\frac{1}{2} \cdot A'C' \cdot B'D' = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt 2 \cdot 2\sqrt 2 = 4\) (đơn vị diện tích).