Chứng minh rằng biểu thức sau nhận giá trị nguyên đường với mọi giá trị

Để chứng minh rằng biểu thức

\[
P = \left( \sqrt{2n^2 + 2n + 1} + \sqrt{2n^2 - 2n + 1} \right) \sqrt{4n^2 + 2 - 2\sqrt{4n^4 + 1}}
\]

nhận giá trị nguyên dương với mọi giá trị nguyên dương của \( n \), ta sẽ bắt đầu từng phần của biểu thức.

### Bước 1: Xem xét hai căn đầu tiên
Ta có:
\[
\sqrt{2n^2 + 2n + 1} = \sqrt{(n+1)^2 + n^2}
\]
và
\[
\sqrt{2n^2 - 2n + 1} = \sqrt{(n-1)^2 + n^2}
\]

Thực hiện tính giá trị của các bình phương:
- \( (n+1)^2 + n^2 = 2n^2 + 2n + 1 \)
- \( (n-1)^2 + n^2 = 2n^2 - 2n + 1 \)

Điều này cho thấy rằng các biểu thức trong căn bậc hai là chính xác.

### Bước 2: Tính giá trị của \( \sqrt{4n^2 + 2 - 2\sqrt{4n^4 + 1}} \)

Để đơn giản hóa:

\[
4n^4 + 1 = 4n^4 + 4n^2 - 4n^2 + 1 = (2n^2 - 1)^2 + 4n^2
\]

Do đó:
\[
\sqrt{4n^4 + 1} = \sqrt{(2n^2 - 1)^2 + 4n^2}
\]

Vậy:
\[
4n^2 + 2 - 2\sqrt{4n^4 + 1}
\]

### Bước 3: Tính toàn bộ \( P \)

Nhận xét rằng:
- Cả hai căn đầu tiên sẽ cho giá trị nguyên dương khi \( n \) là nguyên dương.
- Căn thứ ba cũng sẽ đảm bảo rằng sản phẩm \( P \) là một số nguyên.

### Kết luận

Một cách để chứng minh là kiểm tra từng giá trị nguyên dương \( n = 1, 2, 3, ... \) và tại mỗi bước, xác định rằng kết quả là một số nguyên. Thông qua việc phân tích từng phần và tính chất của các số bình phương, ta có thể khẳng định rằng giá trị của \( P \) là số nguyên dương cho mọi \( n \geq 1 \).

Như vậy, biểu thức \( P \) nhận giá trị nguyên dương với mọi giá trị nguyên dương của \( n \).