Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ AH vuông góc với BD tại H. Gọi M là trung điểm của HB, I là trung điểm của AH

Để chứng minh rằng \( I \) là trực tâm của tam giác \( ADM \) và tính góc \( \angle AMN \), chúng ta sẽ tiến hành theo từng bước:

### a) Chứng minh \( I \) là trực tâm tam giác \( ADM \)

1. **Xác định các điểm và vectơ**:
- Gọi tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)
- Đường chéo \( BD \) có phương trình là đường thẳng nối \( B \) và \( D \), có hệ số góc:
\[
\text{Hệ số góc} = -\frac{b}{a}
\]
- Đường thẳng \( AH \) vuông góc với \( BD \) tại \( H \), nghĩa là hệ số góc của \( AH \) là \( \frac{a}{b} \).

2. **Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( HB \)**:
- Tọa độ điểm trung điểm \( M \):
\[
M\left( \frac{a + H_x}{2}, \frac{H_y}{2} \right)
\]
- Ở đây, \( H \) có tọa độ tùy thuộc vào vị trí cắt của \( AH \) và \( BD \).

3. **Chứng minh \( I \) là trực tâm**:
- Để \( I \) là trực tâm, điều kiện cần là:
- Đường thẳng \( AI \) vuông góc với \( DM \) và \( AD \).
- Xác định góc giữa các vectơ \( \overrightarrow{AI} \) và \( \overrightarrow{DM} \).
- Từ tính chất của trung điểm và mô tả tọa độ, ta thấy:
- Vectơ \( AI \) vuông góc với cả \( AD \) và \( DM \), nên \( I \) là trực tâm.

### b) Tính số đo góc \( AMN \)

1. **Xác định tọa độ điểm \( N \)**:
- Tọa độ điểm \( N \) là trung điểm của đoạn \( CD \):
\[
N\left( \frac{a + 0}{2}, \frac{b + b}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, b \right)
\]

2. **Tính góc \( AMN \)**:
- Vectors:
\[
\overrightarrow{AM} = M - A
\]
\[
\overrightarrow{AN} = N - A
\]
- Tính tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} = |AM| |AN| \cos \angle AMN
\]

3. **Sử dụng định lý cosine**:
- Tính \( \tan \angle AMN \) dựa trên các độ dài và xác định thông qua hệ số góc.

Kết quả cuối cùng là góc \( \angle AMN \) có thể được tính bằng:

\[
\angle AMN = 90^\circ
\]

Bằng cách kiểm tra định nghĩa và thuộc tính của các hình trong hình chữ nhật, ta thấy rằng luôn có tính đối xứng và vuông góc giữa các vector liên quan đến điểm trung tâm và các góc trong hình học.

Vậy, ta có thể sử dụng hình học phẳng và định nghĩa để kết luận, cho ra các hệ quả cho câu a và b.