C): x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0

Û (x² − 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 25

Û (x − 2)² + (y + 3)² = 25

Suy ra đường tròn (C) có tâm là I(2; −3)

Thay toạ độ điểm M vào phương trình của đường tròn (C) ta có:

5² + 1² − 4.5 + 6.1 − 12 = 0 (luôn đúng)

Do đó điểm M thuộc đường tròn (C).

Tiếp tuyến d của (C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM nên có một vectơ pháp tuyến là  IM→=3; 4

Vậy phương trình của tiếp tuyến d là:

3(x − 5) + 4(y − 1) = 0

Û 3x + 4y − 19 = 0.