Lời giải:

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A{B^2} = BH.BC}\\{A{C^2} = CH.BC}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac = \frac\). (đpcm)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(BD.BA = B{H^2} \Leftrightarrow BD = \frac{{H{B^2}}}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(CE.CA = C{H^2} \Leftrightarrow EC = \frac{{H{C^2}}}\)

Ta có: \(\frac = \frac{{H{B^2}}}{{A{B^2}}}:\frac{{H{C^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac = \frac{{H{B^2}}}.\frac{{H{C^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac = {\left( {\frac} \right)^2}.\frac\)

\( \Leftrightarrow \frac = {\left( {\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}} \right)^2}.\frac\)

\( \Leftrightarrow \frac = {\left( {\frac} \right)^4}.\frac\)

\( \Leftrightarrow \frac = \frac{{A{B^4}}}{{A{C^4}}}.\frac\)

\( \Leftrightarrow \frac = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\). (đpcm)