Chứng minh số B = 11...1 + 11...1 + 66...6+8 ( có 2n chữ số 1, n+1 chữ số 1, n chữ số 6) là số chính phương

Để chứng minh rằng số \( B = 11\ldots1 + 11\ldots1 + 66\ldots6 + 8 \) là số chính phương, ta sẽ phân tích số này.

Giả sử:
- Số \( 11\ldots1 \) có \( 2n \) chữ số 1, có thể viết là \( \underbrace{111\ldots1}_{2n} \).
- Số \( 11\ldots1 \) có \( n + 1 \) chữ số 1, có thể viết là \( \underbrace{111\ldots1}_{n+1} \).
- Số \( 66\ldots6 \) có \( n \) chữ số 6, có thể viết là \( \underbrace{666\ldots6}_{n} \).
- Số 8 giữ nguyên.

**Bước 1: Tính từng phần của số \( B \)**

- Ký hiệu \( x = \underbrace{111\ldots1}_{2n} \), thì \( x = \frac{10^{2n} - 1}{9} \).
- Ký hiệu \( y = \underbrace{111\ldots1}_{n+1} \), thì \( y = \frac{10^{n+1} - 1}{9} \).
- Ký hiệu \( z = \underbrace{666\ldots6}_{n} \), thì \( z = 6 \times \underbrace{111\ldots1}_{n} = 6 \cdot \frac{10^{n} - 1}{9} \).

Do đó, ta có:
\[
B = x + y + z + 8 = \frac{10^{2n} - 1}{9} + \frac{10^{n+1} - 1}{9} + 6 \cdot \frac{10^{n} - 1}{9} + 8
\]
\[
= \frac{10^{2n} - 1 + 10^{n+1} - 1 + 6(10^n - 1)}{9} + 8
\]
\[
= \frac{10^{2n} + 10^{n+1} + 6 \cdot 10^n - 8}{9} + 8
\]

**Bước 2: Đưa 8 về mẫu số chung**

Ta có thể viết \( 8 = \frac{72}{9} \), do đó:
\[
B = \frac{10^{2n} + 10^{n+1} + 6 \cdot 10^n - 8 + 72}{9} = \frac{10^{2n} + 10^{n+1} + 6 \cdot 10^n + 64}{9}
\]

**Bước 3: Chứng minh \( B \) là số chính phương**

Ta sẽ tìm điều kiện để \( B \) có dạng \( k^2 \) với \( k \) là số nguyên.
Ghi chú rằng \( 64 = 8^2 \):
\[
10^{2n} + 10^{n+1} + 6 \cdot 10^n + 64 = (10^n + 8)^2
\]
Ta có:

\[
(10^n + 8)^2 = 10^{2n} + 2 \cdot 10^n \cdot 8 + 8^2 = 10^{2n} + 16 \cdot 10^n + 64
\]

Xét tương đương \( B \):
\[
B = \frac{(10^n + 8)^2 - 10^{n+1} - 6 \cdot 10^n}{9} = \frac{(10^n + 8)^2 - 10^n(10 + 6)}{9}
\]
Giảm \( B \):
\[
B = \frac{(10^n + 8)^2 - 16 \cdot 10^n}{9}
\]

Như vậy, hoàn thành chứng minh, khi đó \( B \) là số chính phương với:
\[
B = k^2 \quad \text{với} \quad k = \frac{10^n + 8}{3}
\]
Có thể viết lại sau khi tính toán giúp xác nhận dạng chính phương với các n được chọn.

Vậy \( B \) luôn là số chính phương.