Ta có 3sin2x+cos2xsin2x+4cos2x+1≤m+1⇔3sin2x+cos2xsin2x+2cos2x+3≤m+1

Do sin2x+2cos2x+1>0  ∀x⇒  hàm số có tập xác định D=ℝ

Đặt y=3sin2x+cos2xsin2x+2cos2x+3⇔3−ysin2x+1−2ycos2x=3y  (1)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 3−y2+1−2y2≥9y2

⇔2y2+5y−5≤0⇔−5−654≤y≤−5+654

Suy ra maxy=−5+654

Để bất phương trình 3sin2x+cos2xsin2x+4cos2x+1≤m+1  đúng với mọi  x∈ℝthì −5+654≤m+1⇔m≥65−94