Giả tử từ M ta vẽ được hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (C) tại A và B.

Xét tứ giác MAIB, có: \(\widehat {MAI} = \widehat {MBI} = \widehat {AMB} = 90^\circ \) nên MAIB là hình chữ nhật.

Mà IA = IB (= R) nên MAIB là hình vuông.

Do đó IM = \(2\sqrt 2 \).

Vì M thuộc (d’): x – 2y – 1 = 0 nên M(1 + 2t; t).

\( \Rightarrow \overrightarrow {IM} \left( {2t;\,t + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = \sqrt {4{t^2}\, + {{\left( {t + 1} \right)}^2}} = \sqrt {5{t^2} + 2t + 1} = 2\sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow 5{t^2} + 2t + 1 = 8\)

\( \Leftrightarrow 5{t^2} + 2t - 7 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - \frac{7}{5}\end{array} \right.\)

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là: M(2; 2) và \(M\left( { - \frac{5}; - \frac{2}{5}} \right)\).