a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosC = a2+b2−c22ab=82+102−1322.8.10=−0,03125

⇒ C^≈91o47'26''

Suy ra C^>90o

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

b) Do AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của BC, tức là MB = MC = BC : 2 = 4.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ACM ta có:

AM² = AC² + CM² – 2.AC.CM.cosC = 10² + 4² – 2.10.4.cos91°47'26" = 118,5

⇒ AM ≈ 10,9.

Nửa chu vi của tam giác ABC là :

 p=a+b+c2=8+10+132=15,5

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là:

S=p(p−a)(p−b)(p−c)=15,5.(15,5−8).(15,5−10).(15,5−13)≈40

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có:

S=abc4R⇒R=abc4S=8.10.134.40=6,5

Vậy độ dài đường trung tuyến AM ≈ 10,9; diện tích tam giác ABC là 40; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,5.

c) Vì D đối xứng với A qua C nên C là trung điểm của AD.

Suy ra AD = 2AC = 2.10 = 20.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

cosA = b2+c2−a22bc=102+132−822.10.13=205260=4152

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABD ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cosA = 20² + 13² – 2.20.13.4152 = 159

⇒ BD =  159≈ 12,6.

Vậy BD ≈ 12,6.