Trường hợp 1:  p chẵn 

Vì p là số nguyên tố chẵn nên nó chỉ có thể là 2, nhưng 2 không thể là tổng 2 số nguyên tố vì 2 là số nguyên tố nhỏ nhất . 

⇒ p không tồn tại

Trường hợp 2:  p lẻ

Giả sử p = m + n ( m,n là số nguyên tố ). Mà p lẻ ⇒  trong m và n có 1 lẻ, 1 chẵn

Nếu m là số lẻ, n là số chẵn ⇒  n = 2 ⇒ p = m + 2 ⇒ m = p – 2 (1)

Tương tự, p = q – r ( q, r là số nguyên tố ).

Vì p là số lẻ ⇒  trong q và r có 1 lẻ, 1 chẵn

Xét q chẵn ⇒ q = 2 ⇒  p = 2 – r < 0 ( loại ) 

Vậy  q là số lẻ , r là số chẵn ⇒  r = 2 ⇒  p = q – 2 ⇒  q = p + 2 (2)

Từ (1) , (2) ta thấy  p – 2 ; p ; p + 2 là 3 số nguyên tố lẻ (3) 

+ Nếu p < 5 ⇒ p – 2 < 3 ⇒  p – 2 không thể là số nguyên tố lẻ

+ Nếu p = 5 ⇒ (3) thỏa mãn ⇒  p = 5 .

+ Nếu p > 5 ⇒ p – 2 ; p ; p + 2 đều lớn hơn 3

+ Nếu p – 2 chia 3 dư 1 thì p chia hết cho 3 ⇒ p không phải số nguyên tố (loại) 

+ Nếu p–2 chia 3 dư 2 thì p + 2 chia hết cho 3 ⇒ p + 2 ko phải số nguyên tố (loại) 

⇒ p chỉ có thể là 5

Vậy p = 5.