a) 2x−y−z=2x+y=3x−y+z=2⇔2x−y−z=2x+y=33x−2y=4⇔2x−y−z=2x+y=35y=5⇔2x−y−z=2x+1=3y=1

⇔2.2−1−z=2x=2y=1⇔z=1x=2y=1.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (2; 1; 1).

b) 3x−y−z=2x+2y+z=5−x+y=2⇔3x−y−z=24x+y=7−x+y=2⇔3x−y−z=24x+y=75y=15⇔3x−y−z=24x+3=7y=3

⇔3.1−3−z=2x=1y=3⇔z=−2x=1y=3.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (1; 3; –2).

c) x−3y−z=−62x−y+2z=64x−7y=−6⇔x−3y−z=−64x−7y=−64x−7y=−6⇔x−3y−z=−64x−7y=−6.

Rút x theo y từ phương trình thứ hai của hệ ta được x = 7y−64. Rút z theo x và y từ phương trình thứ nhất của hệ ta được

z = x – 3y + 6 = 7y−64−3y+6=−5y+184. 

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là

S = {7y−64;y;−5y+184 | y ∈ℝ}.

d) x−3y−z=−62x−y+2z=64x−7y=3⇔x−3y−z=−64x−7y=−64x−7y=3.

Từ hai phương trình cuối, suy ra –6 = 3, điều này vô lí. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

e) 3x−y−7z=24x−y+z=11−5x−y−9z=−22⇔3x−y−7z=2−y−31z=−25−5x−y−9z=−22⇔3x−y−7z=2−y−31z=−25−8y−62z=−56⇔3x−y−7z=2−y−31z=−25−186z=−144

⇔3x−y−7z=2−y−31.2431=−25z=2431⇔x=8731y=1z=2431.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = 8731;1;2431.

f) 2x−3y−4z=−25x−y−2z=37x−4y−6z=1⇔2x−3y−4z=−2−13y−16z=−167x−4y−6z=1⇔2x−3y−4z=−2−13y−16z=−16−13y−16z=−16⇔2x−3y−4z=−2−13y−16z=−16.

Rút y theo z từ phương trình thứ hai của hệ ta được y = 16−16z13.Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất của hệ ta được

x = 3y+4z−22=3.16−16z13+4z−22=36z+2226=18z+1113.

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {18z+1113;16−16z13;z| y ∈ℝ}.