a) Số chấm tăng thêm sau mỗi lượt xếp (kể từ lượt đầu tiên) là các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.

b) Vì ở hình vuông thứ n có mỗi cạnh chứa n chấm nên tổng số chấm là n².

Mặt khác, theo cách sắp xếp trên ta lại có tổng số chấm là: 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1).

Như vậy ta sẽ chứng minh mệnh đề

P(n): "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n² với mọi n∈ℕ^*".

+) Khi n = 1, ta có: 1 = 1².

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + [2(k+1) – 1] = (k + 1)².

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k².

Khi đó:

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + [2(k+1) – 1]

= [1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1)] + [2(k+1) – 1]

= k² + [2(k+1) – 1]

= k² + (2k + 2 –1)

= k² + 2k + 1

= (k + 1)².

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi n∈ℕ^*.