a)

Để đường thẳng (d): y=2(m−1)x+m2+2m đi qua điểm I (1;3) thì x = 1; y = 3 thỏa mãn phương trình đường thẳng (d) nên ta có:

3=2(m−1).1+m2+2m⇔m2+2m+2m−2=3⇔m2+4m−5=0⇔m2−1+4m−4=0⇔m−1m+1+4m−1=0⇔m−1m+5=0⇔m−1=0m+5=0⇔m=1m=−5

Vậy với m = 1 hoặc m = - 5 thì đường thẳng (d) đi qua điểm I(1;3)

b)

(P): y=x2  và (d): y=2(m−1)x+m2+2m (m≠1)

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

x2=2(m−1)x+m2+2m (1)⇔x2−2(m−1)x−(m2+2m)=0

Δ'=(m−1)2+m2+2m=2m2+1>0 với mọi m

       Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Khi đó theo hệ thức Vi-ét: x1+x2=2m−1x1x2=−(m2+2m) (2)

Theo bài ra, ta có: x12+x22+6x1x2=2020

⇔x1+x22−2x1x2+6x1x2=2020⇔x1+x22+4x1x2=2020 (3)

Thay (2) vào (3) ta có: 

2(m−1)2−4(m2+2m)=2020⇔4m2−4m+4−4m2−8m=2020⇔12m=−2016⇔m=−168

Vậy m = 168 thỏa mãn bài.