a) Thể tích cần tính là:

V = π\(\int\limits_1^4 {{{\left( {2\sqrt x } \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_1^4 {4xdx = \left. {\pi 2{x^2}} \right|_1^4 = 30\pi } \).

b)

Đồ thị hàm số y = 4x nằm phía trên đồ thị hàm số y = x3 so với trục hoành, với mọi

x ∈ [0; 2].

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 4x, y = 0, x = 0, x = 2 quanh trục Ox là:

V1 = \(\pi \int\limits_0^2 {{{\left( {4x} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^2 {16{x^2}dx}  = \frac{{128\pi }}{3}\).

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, y = 0, x = 0, x = 2 quanh trục Ox là:

V2 = \(\pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^2 {{x^6}dx}  = \frac{{128\pi }}{7}\).

Thể tích cần tính là: V = V1 – V2 = \(\frac{{128\pi }}{3}\) − \(\frac{{128\pi }}{7}\) = \(\frac{{512\pi }}\).