a) AN // BC:
Đây là mệnh đề sai. Trong hình bình hành ABCD, AN không song song với BC. AN là đường chéo của hình bình hành (nếu nối A với trung điểm N của BC), trong khi BC là một cạnh của hình bình hành. Hai đường này cắt nhau tại một điểm.
b) PN // SD:
Đây là mệnh đề sai. Xét tam giác SCD, P là trung điểm CD. Để PN // SD thì N phải là trung điểm SC. Nhưng theo giả thiết N là trung điểm BC, nên PN không song song với SD.
c) AN // (SAD):
Đây là mệnh đề sai. AN nằm trong mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng (ABCD) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến AD. Vì AN cắt AD tại A nên AN không song song với mặt phẳng (SAD).
d) SC cắt mặt phẳng (MNP):
Đây là mệnh đề đúng. Để chứng minh điều này, ta xét như sau:
Trong mặt phẳng (ABCD), NP không song song với AC (vì N và P là trung điểm của hai cạnh kề nhau của hình bình hành). Do đó, NP cắt AC tại một điểm, gọi điểm đó là I.
I nằm trên NP nên I thuộc mặt phẳng (MNP).
I nằm trên AC. Vì AC nằm trong mặt phẳng (SAC) nên I thuộc mặt phẳng (SAC).
Vậy I là giao điểm của hai mặt phẳng (MNP) và (SAC).
Xét trong mặt phẳng (SAC), ta có M là trung điểm SA, O là trung điểm SA (trùng M), vậy M trùng O. Do đó, MO là điểm M.
Trong mặt phẳng (SAC), xét đường thẳng MI. Ta thấy MI và SC không song song (vì M không là trung điểm của SC). Vậy MI cắt SC tại một điểm, gọi điểm đó là J.
J nằm trên MI, mà MI nằm trong mặt phẳng (MNP) nên J thuộc mặt phẳng (MNP).
J nằm trên SC nên J thuộc đường thẳng SC.
Vậy J là giao điểm của SC và mặt phẳng (MNP). Suy ra SC cắt mặt phẳng (MNP).