a) Ta có đồ thị hàm số như sau:

Quan sát đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = \(\sqrt x \) nằm phía trên đồ thị hàm số y = \(\frac{{{x^2}}}{8}\) so với trục hoành, với x ∈ [0; 4].

Diện tích cần tính là:

S = \(\int\limits_0^4 {\left| {\sqrt x  - \frac{{{x^2}}}{8}} \right|} dx = \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt x  - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{2}{3}x\sqrt x  - \frac{{{x^3}}}} \right)} \right|_0^4 = \frac{8}{3}\).

b) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \(\sqrt x \),

y = 0, x = 0, x = 4 quanh trục Ox là:

V1 = \(\pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_0^4 {xdx = \left. {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right|_0^4 = 8\pi .} \)

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \(\frac{{{x^2}}}{8}\),

y = 0, x = 0, x = 2 quanh trục Ox là:

V2 = \(\pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\frac{{{x^2}}}{8}} \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_0^4 {\frac{{{x^4}}}dx = \left. {\frac{{\pi {x^5}}}} \right|_0^4 = \frac{{16\pi }}{5}.} \)

Thể tích cần tính là:

V = V1 – V2 = \(8\pi  - \frac{{16\pi }}{5} = \frac{{24\pi }}{5}\).