a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\).
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a) Tập xác định: D = ℝ\{0}.
Ta có: y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) = \( - x - 1 - \frac{1}{x}\)
⇒ y' = −1 + \(\frac{1}{{{x^2}}}\) = \(\frac}{{{x^2}}}\)
y' = 0 ⇔ \(\frac}{{{x^2}}}\) = 0 ⇔ 1 – x2 = 0 ⇔ x = ±1.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (0; 1).
Điểm cực tiểu và điểm cực đại của đồ thị hàm số lần lượt là (−1; 1) và (1; −3).
Các giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x - 1} \right)} \right]\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \)\(\left( { - \frac{1}{x}} \right)\) = 0. Vậy đường thẳng y = −x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty \). Vậy đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(0; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
b)
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) và đường thẳng d: y = −2x + m là nghiệm của phương trình:
\( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) = −2x + m
⇔ x2 – (1 + m)x – 1 = 0 (x ≠ 0). (*)
Phương trình (*) có ac = −1 < 0 nên luôn có hai nghiệm trái dấu.
Vậy với mọi m, đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm A(x1; −2x1 + m) và
B(x2; −2x2 + m) thuộc hai nhánh của đồ thị, ở đó x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Ta có:
AB2 = (x1 – x2)2 + [(−2x1 + m) – (−2x2 + m)]2
= (x1 – x2)2 + 4(x1 – x2)2
= 5(x1 – x2)2
= 5[(x1 + x2)2 – 4x1x2].
Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\).
⇒ AB2 = 5[(m + 1)2 + 4] = 5(m + 1)2 + 20 ≥ 20 ∀m.
Vậy AB ≥ 2\(\sqrt 5 \).
Dấu “=” xảy ra khi m = −1.
Lúc này phương trình (1) là x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±1.
Vậy đường thẳng d: y = −2x – 1 đi qua hai điểm cực trị A(−1; 1) và B(1; −3).
Đồ thị hàm số như sau:
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |