Để giải bài toán \( \frac{x}{9} < \frac{x^7}{x} < \frac{x}{6} \), ta có thể đơn giản hóa bất đẳng thức này như sau:

Bắt đầu từ thành phần giữa: \( \frac{x^7}{x} = x^6 \).

Ta có hai bất đẳng thức:

1. \( \frac{x}{9} < x^6 \)
2. \( x^6 < \frac{x}{6} \)

### Giải bất đẳng thức thứ nhất:

\[ \frac{x}{9} < x^6 \]

Nhân cả hai vế với 9 (lưu ý là x phải dương):

\[ x < 9x^6 \]

Chuyển về một phía:

\[ 9x^6 - x > 0 \]

Factoring ra:

\[ x(9x^5 - 1) > 0 \]

Để bất đẳng thức trên đúng, ta có hai trường hợp:

1. \( x > 0 \)
2. \( 9x^5 - 1 > 0 \) tức là \( x^5 > \frac{1}{9} \) hay \( x > \sqrt[5]{\frac{1}{9}} \).

### Giải bất đẳng thức thứ hai:

\[ x^6 < \frac{x}{6} \]

Nhân cả hai vế với 6 (với x dương):

\[ 6x^6 < x \]

Chuyển về một phía:

\[ 6x^6 - x < 0 \]

Factoring:

\[ x(6x^5 - 1) < 0 \]

Để bất đẳng thức trên đúng, ta có:

1. \( x > 0 \)
2. \( 6x^5 - 1 < 0 \) tức là \( x^5 < \frac{1}{6} \) hay \( x < \sqrt[5]{\frac{1}{6}} \).

### Kết hợp hai điều kiện:

1. \( x > \sqrt[5]{\frac{1}{9}} \)
2. \( x < \sqrt[5]{\frac{1}{6}} \)

### Tính giá trị cụ thể:

- \( \sqrt[5]{\frac{1}{9}} \approx 0.72478 \)
- \( \sqrt[5]{\frac{1}{6}} \approx 0.793701 \)

Do x là số tự nhiên, giá trị hợp lệ gần nhất với 0.72478 và 0.793701 là:

Số tự nhiên \( x = 1 \).

### Kiểm tra:

- Với \( x = 1 \):

\[
\frac{1}{9} < \frac{1^7}{1} < \frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{9} < 1 < \frac{1}{6} \quad (đúng)
\]

Vậy số tự nhiên \( x \) thỏa mãn bất đẳng thức là **x = 1**.